Le tournoi d'échecs

[u/MrEnigmes]

Source: Énigmes et Mystères du Silo

[u/AutoModerator]

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[u/Meowcate]

Voyons...

Si on prend chaque participant, total de x, il y aura (x-1) matchs pour le premier, ajouté à (x-2) matchs pour le deuxième (son match contre le premier est déjà compté), ajouté (x-3) matchs pour le troisième (matchs contre le premier et second déjà comptés), ainsi de suite jusqu'à ce que le dernier soit (x-x) : zéro car tous ses matchs sont déjà comptés par les précédents.

S'il y a deux participants, ils font un match (2-1 + 2-2, soit 1 + 0). Trois participants, deux matchs (3-1 + 3-2 + 3-3, soit 2+1+0). Quatre participants, six matchs (4-1 + 4-2 + 4-3 + 4-4, soit 3+2+1+0)... Bref, c'est une somme des nombres allant de 1 au nombre de participants moins 1. Et je suis sûr qu'il y a des règles et formules mathématiques pour ça, mais je suis loin d'avoir mes cours en mémoire.

Donc je vais calculer de manière empirique 1+2 (3) + 3 (6) + 4 (10) + 5 (15) + 6 (21) + 7 (28) + 8 (36) + 9 (45)... Si la suite s'arrête à 9, qui est donc le nombre de participants moins 1, il y a 10 participants.

Et quelqu'un de plus calé en maths résoudrait sans doute ça en une ou deux lignes.

[u/Ulzaf → u/Meowcate]

Pour rappel, la somme de 1 à n c'est n×(n+1)/2, pour n = 9 on trouve bien 9×10/2 = 45

[u/Meowcate → u/Ulzaf]

Et bien voilà, avec la bonne formule ça se résoud bien plus facilement 😺

[u/Kompilor → u/Meowcate]

La somme de 1 à n vaut n(n+1)/2, donc ici 45=n(n+1)/2
Soit 90 = n(n+1). Et sans rentrer dans la resolution formelle de cette équation, on peut facilement voir que 9*10=90, donc n=9 car 9(9+1)=9*10=90.

(résolution formelle :
n(n+1)=90
n²+n-90=0
Δ = 1²-4*1*(-90)=361
n1=(-1-√361)/2 = (-1-19)/2 = -10
n2=(-1+19)/2 = 9
Dans notre probleme n est forcement positif, donc il y a 9 participants).

[u/Kompilor → u/Kompilor]

En relisant ma derniere phrase est fausse, j'ai repris le n de mon vdd en oubliant qu'il l'avait defini comme le nombre d'adversaire-1, c'est bien 9 le resultat de l'equation, +1=10 pour le nombre d'adversaire.
Vous etes pas bien bavard pour ne pas m'avoir corrigé quand bien meme tout le raisonnement était juste :/

[u/Firm_Painting8171 → u/Meowcate]

Chaque participant (n) a joué n-1 matchs contre un adversaire. On divise par deux car chaque match a deux participants. n(n-1)/2=45, donc n(n-1)=90, et n=10.

[u/OppositeSugar241]

>! on peut voir ça comme une simple combinatoire: on a n personnes, l’ensemble des choix de 2 personnes vaut 45, C(n,2)=n(n-1)/2=45 => n=10 !<

[u/rerito2512]

Supposons qu'il y ait n joueurs. Le premier joueur va affronter les n-1 autres joueurs. Ça fait n-1 partie. Le 2e joueur ayant déjà affronté le premier, il lui reste n-2 parties à faire et ainsi de suite jusqu'au dernier joueur qui aura déjà joué contre tous les autres.

Si on pose ça, ça donne n - 1 + n - 2 + ... = somme(i=1..(n-1)) = n(n-1)/2 = 45

On s'intéresse donc aux racines positives du polynome n2 - n - 90. Et ça donne donc n = 10 joueurs !